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藤四郎のひつまぶし

プロの素人によるブログ

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プリティーリズム・レインボーライブ23話で取り上げられた問題の解を探す

プリティーリズム・レインボーライブ23話では、個人的に興味深い問題が取り上げられていました。
これです。


T-ART/syn Sophia/テレビ東京/PRR製作委員会『プリティーリズム・レインボーライブ』23話
今回はこの問題について考えてみます。

梅田先生はこのあと「高校のす」と言いかけていますから、高校レベルの数学の問題なのかもしれません。
そうであれば私でも解けるはず。

まずは下図のように、求める面積をaとし、正方形のその他の部分をb、cと色分けしてみます。

T-ART/syn Sophia/テレビ東京/PRR製作委員会『プリティーリズム・レインボーライブ』23話
※赤、青、黄色の線は筆者追記

この時正方形の面積は

a+4b+4C

で表すことができ、正方形の面積を求め、式を整理すると

a=100-4b-4c…式1

と表すことができます。
bとcが求められればaも求められそうです。

下図のように、正方形の面積と扇型の面積に注目し、正方形の面積から扇型の面積を引いたY、Y2つに挟まれた部分の面積Xに注目してみます。

T-ART/syn Sophia/テレビ東京/PRR製作委員会『プリティーリズム・レインボーライブ』23話
※赤、青、黄色、ピンク、黄緑の線は筆者追記

するとこんな式が出せます。

Y:100-{(1/4)*10*10*π}=b+2c

X:100-2(b+2c)=a+2b

ただ式1とこれらの式をいじくりまわしてもaは求められなさそうです。

与えられた図だけで求められそうになければ、補助線を引いていきましょう。
まず問題の四角形を四角形ABCDとします。

T-ART/syn Sophia/テレビ東京/PRR製作委員会『プリティーリズム・レインボーライブ』23話
※橙色の線は筆者追記

∠ADCを中心角とする扇型の弧と∠BCDを中心角とする扇型の弧の交点をMとします。

T-ART/syn Sophia/テレビ東京/PRR製作委員会『プリティーリズム・レインボーライブ』23話
※橙色の線は筆者追記

この時、線分DMは扇型の半径であるため、長さが線分ADと等しく10cmになります。
同様に線分MCも10cmとなり、△DMCは三辺の長さが等しいので正三角形になります。

T-ART/syn Sophia/テレビ東京/PRR製作委員会『プリティーリズム・レインボーライブ』23話
※橙色の線は筆者追記

DMCが正三角形なので、扇型MDCの中心角は60°です。

T-ART/syn Sophia/テレビ東京/PRR製作委員会『プリティーリズム・レインボーライブ』23話
※橙色の線は筆者追記

すると扇型MDCは半径10cmの円を6等分したものとなり(60*6=360)、その面積は
1/6(10*10*π)=(50/3)π
となります。

さて、ここで注目したいのは扇型BCMです。

T-ART/syn Sophia/テレビ東京/PRR製作委員会『プリティーリズム・レインボーライブ』23話
※橙色の線は筆者追記

この扇型BCMの面積から弧MCと線分MCで囲まれた斜線部分の面積を引くと、b+cになります。

T-ART/syn Sophia/テレビ東京/PRR製作委員会『プリティーリズム・レインボーライブ』23話
※赤、黄色、橙色の線は筆者追記

式1を変形すると、

a=100-4(b+c)…式2

となるので、b+cが出せれば答が出せそうです。

扇型BCMの面積は扇型DCBの面積から扇型DCMの面積を引いたもので、

T-ART/syn Sophia/テレビ東京/PRR製作委員会『プリティーリズム・レインボーライブ』23話
※赤、黄色、橙色の線は筆者追記

1/4(10*10*π)-1/6(10*10*π)=1/12(10*10*π)=(25/3)π

斜線部分の面積は扇型MDCの面積から△MDCの面積を引けば求められます。

T-ART/syn Sophia/テレビ東京/PRR製作委員会『プリティーリズム・レインボーライブ』23話
※橙色の線は筆者追記

頂点MからDCに垂線を引き、その交点をmとすると、線分Dmの長さは5cm。

T-ART/syn Sophia/テレビ東京/PRR製作委員会『プリティーリズム・レインボーライブ』23話
※赤、黄色、橙色の線は筆者追記

三平方の定理より線分Mmの長さは

√(10^2-5^2)=5√3

これより△MDCの面積は

T-ART/syn Sophia/テレビ東京/PRR製作委員会『プリティーリズム・レインボーライブ』23話
※橙色の線は筆者追記

(10*5√3)/2=25√3

これと扇型MDCの面積より、扇型BCMから弧MCと線分MCで囲まれた部分の面積を引いたもの、つまりb+cの面積は

T-ART/syn Sophia/テレビ東京/PRR製作委員会『プリティーリズム・レインボーライブ』23話
※赤、黄色、橙色の線は筆者追記

b+c=(25/3)π-{(50/3)π-25√3}
=25√3-(25/3)π

これを式2に代入して、

a=100-4{25√3-(25/3)π}
=100+(100/3)π-100√3(cm^2)…答

あるいは下図のように補助線を引いて、

T-ART/syn Sophia/テレビ東京/PRR製作委員会『プリティーリズム・レインボーライブ』23話
※橙色の線は筆者追記

線分MNと弧MNで囲まれている部分の面積を扇型MDNと△MDNの差から求め、それを4つを足しあわせたものに線分MNを1辺とする正四角形の面積を加えて求めることができます。

…という一連の流れを検索して見つけたYahoo!知恵袋で知りました。

次の図形の面積の求め方、教えて下さい。 - Yahoo!知恵袋

いやホント長い間、ヘタしたら10年ぐらいこういう問題解いていなかったので、全然補助線が引けなくなっていてびっくりしました。
補助線の他にも三角形の高さを求めるのに三平方の定理が出てこなかったり、扇型の面積を円の面積*(中心角/360°)で出せるってのが出てこなかったり、とにかくヤバかったです。

そしてそれ以上にヤバイと思うのは、この問題をこういう解き方で解いたりんねちゃんです。

T-ART/syn Sophia/テレビ東京/PRR製作委員会『プリティーリズム・レインボーライブ』23話

このりんねちゃんの解き方は、私が知らないだけで、数IIIの授業とか理学部の講義とか受けてると理解できるんですかね…。
あるいはこの問題を出した梅田先生がりんねちゃんのハッタリを見抜けなかったってことなんですかね…。

T-ART/syn Sophia/テレビ東京/PRR製作委員会『プリティーリズム・レインボーライブ』23話

あとこの問題と直接関係ない上に路上でプリズムショーをやっていたりするレインボーライブではいまさらの話ですが、これだけはっきりとプリズムショー中の足元を映されると、さすがにどういう仕組で滑っているのか疑問が浮かんだりもします。

T-ART/syn Sophia/テレビ東京/PRR製作委員会『プリティーリズム・レインボーライブ』23話

私にとって、プリティーリズム・レインボーライブは数学的にも物理的にも興味深いアニメです。

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